Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Kuadrat-Kuadrat dengan Kalkulator

Kalkulator ilmiah, seperti ClassWiz 991 EX, memiliki banyak kemampuan yang dapat membantu untuk menyelesaikan masalah matematika dan digunakan sebagai media dalam pembelajaran matematika. Kalkulator tidak hanya sebagai alat hitung, bahkan mempunyai fungsi lain, yaitu sebagai alat: (1) Representasi, dimana kalkulator dapat merepresentasikan suatu bilangan dengan berbagai cara,  sehingga kita dapat melihat bagaimana bilangan tersebut terkait satu sama lain, (2) Komputasi, dimana kalkulator sangat membantu untuk mendapatkan jawaban numerik dengan cepat dan efisien. Kalkulator sangat berguna untuk menyelesaikan masalah yang banyak, berulang dan dengan angka yang sulit, (3) Eksplorasi, dimana siswa dapat belajar mengenai konsep matematika dengan menggunakan kalkulator untuk eksplorasi, dan (4) Afirmasi, dimana kalkulator dapat mengesahkan pemikiran siswa. Secara mudah, kalkulator dapat digunakan untuk memeriksa perhitungan yang dilakukan secara manual.

Pada tulisan ini, kita akan membahas bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dua variabel dan sistem pertidaksamaan dua variabel bentuk kuadrat-kuadrat dengan bantuan kalkulator ClassWiz.

A. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah y ≤ ax² + bx + c, dimana a 0, a, b, c, x, dan y adalah bilangan real, dan tanda pertidaksamaan dapat juga berbentuk  ≥, <, atau >. Himpunan penyelesaiannya merupakan kumpulan pasangan titik atau koordinat (𝑥, 𝑦) yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat tersebut.

Bagaimana menentukan daerah penyelesaian dengan bantuan Kalkulator ClassWiz? Sebagai contoh, kita akan menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan y ≥ x² + 2x – 3, untuk x Î R dengan langkah-langkah berikut.

1.    Aktifkan menu tabel dengan menekan tombol w9, tampil f(x) =, isikan dengan x² + 2x – 3, sehingga diperoleh f(x) = x² + 2x – 3. Kemudian tekan tombol =. Selanjutnya akan tampil g(x) =, kosongkan, lalu tekan tombol =. Pada isian Table Range, sebagai contoh gunakan interval -4 ≤ x ≤ 3, dengan mengisi Start: -4, End: 3, dan Step: 1, dimana setiap langkah diikuti dengan menekan tombol =, kemudian diakhiri dengan menekan tombol = sekali lagi, sehingga terlihat tampilan tabel berikut.

Dari tabel di atas nampak bahwa grafik fungsi tersebut memotong sumbu X di titik (-3, 0) dan (1, 0).

2. Kita dapat menampilkan grafik fungsi dengan cara menekan tombol qT (QR Code), kemudian memindai (scan) QR Code tersebut dengan handphone atau dengan men-klik QR Code yang tampil jika kita menggunakan emulator kalkulator di laptop yang terhubung dengan internet, sehingga tampil grafik fungsi berikut.

3.   Pada gambar grafik di atas, ambil titik (-1, -1) sebagai titik uji, berarti nilai x = -1 dan y = -1. Dari tampilan menu tabel sebelumnya, untuk x = -1, nilai f(x) = -4.

Selanjutnya, kita akan membandingkan nilai y pada titik uji dengan nilai f(x) pada tabel sesuai dengan masalah pertidaksamaan  y ≥ x² + 2x – 3 atau y ≥ f(x).

Nah, dari sini kita peroleh -1 ≥ -4 merupakan pernyataan yang benar, sehingga dapat disimpulkan bahwa daerah dimana titik uji (-1, -1) berada merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan yang dimaksud (daerah yang diarsir) seperti tampak pada gambar berikut.

Jika dari hasil perbandingan nilai y dan f(x) diperoleh pernyataan yang salah, maka daerah dimana titik uji terletak bukan merupakan daerah penyelesaiaan, sedangkan daerah  lain adalah daerah penyelesaian.

B. Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Kuadrat - Kuadrat

Bentuk umum sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat adalah 

dimana a 0, p  0, a, b, c, p, q, r, x, dan y adalah bilangan real, dan tanda pertidaksamaan dapat juga berbentuk  ≥, <, atau >. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan dua variabel adalah daerah yang merupakan irisan dari penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut.

Bagaimana menentukan daerah penyelesaian dengan bantuan Kalkulator ClassWiz? Sebagai contoh, kita akan menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan , untuk x  R dengan langkah-langkah berikut.

1.    Aktifkan menu tabel dengan menekan tombol w9, tampil f(x) =, isikan dengan 8 + 4x – x², tekan tombol =, tampil g(x) =, isikan dengan x² – 2x , lalu tekan tombol =. Pada isian Table Range, gunakan interval -4 ≤ x ≤ 8, dengan mengisi Start: -4, End: 8, dan Step: 1, dimana setiap langkah diikuti dengan menekan tombol =, kemudian diakhiri dengan menekan tombol = sekali lagi, sehingga terlihat tampilan tabel berikut.

    

Dari tabel di atas tampak bahwa kedua grafik fungsi berpotongan pada titik (-1, 3) dan (4, 8), ini terlihat pada nilai f(x) = g(x) untuk x = -1 dan x = 3.

2.    Tampilkan grafik fungsi dengan cara menekan tombol qT (QR Code), kemudian memindai (scan) QR Code tersebut dengan handphone atau dengan men-klik QR Code yang tampil jika kita menggunakan emulator kalkulator di laptop yang terhubung dengan internet, sehingga tampil grafik fungsi berikut. (Keterangan: kurva yang terbuka ke bawah adalah kurva f(x), sedangkan yang terbuka ke atas adalah kurva g(x)).

4.    Pada gambar grafik di atas, ambil titik-titik (-2, 0), (0, 10), (2, 5), (4, 0), dan (6, 5) sebagai titik uji. Selanjutnya, kita akan membandingkan nilai y pada titik uji dengan nilai f(x) dan g(x) sesuai dengan masalah sistem pertidaksamaan seperti pada tabel berikut.

Titik Uji	y  ≤  f(x)	y  ≥  g(x)
(-2, 0), nilai x = -2, y = 0	0 ≤ -4  (salah)	0 ≥ 8 (salah)
(0, 10), nilai x = 0, y = 10	10 ≤ 8  (salah)	10 ≥ 0 (benar)
(2, 5), nilai x = 2, y = 5	5 ≤ 12  (benar)	5 ≥ 0 (benar)
(4, 0), nilai x = 4, y = 0	0 ≤ 8  (benar)	0 ≥ 8 (salah)
(6, 5), nilai x = 6, y = 5	5 ≤ -4  (salah)	5 ≥ 24 (salah)

Dari tabel di atas, tampak bahwa pada titik uji (2, 5) kedua pernyataan yang benar, sehingga dapat disimpulkan bahwa daerah dimana titik uji (2, 5) berada merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang dimaksud (daerah yang diarsir) seperti tampak pada gambar berikut.

Dari pembahasan ini, kita dapat melihat bahwa kalkulator juga dapat digunakan sebagai media dalam pembelajaran matematika, memahami konsep matematika, dan memudahkan dalam menyelesaikan masalah, tentunya melalui ekplorasi dengan memaknai keterkaitan antara bilangan-bilangan yang ada.