Pembuktian Teorema Pythagoras

BEBERAPA PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS

Teorema Pythagoras merupakan peninggalan dari Pythagoras yang penerapannya banyak digunakan hingga saat ini. Teorema ini menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari sebuah segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi siku-sikunya). Secara matematis teorema pythagoras ditulis sebagai c² = a² + b²  dimana a dan b mewakili panjang kedua sisi siku-sikunya dan c mewakili panjang hipotenusanya. Dalam bentuk geometri, Teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut.

Pada suatu segitiga siku-siku, luas persegi yang sisinya adalah hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi yang sisi-sisinya adalah sisi siku-siku dari segitiga siku-siku tersebut.

Dengan kata lain:

Luas Persegi III  =  Luas Persegi I  +  Luas Persegi II

Ada banyak bukti yang menunjukkan kebenaran teorema pythagoras. Beberapa diantaranya adalah bukti pythagoras yang dikemukakan oleh Pythagoras, Bhaskara, Garfield, dan Euclid.

Berikut ini beberapa pembuktian dari teorema pythagoras :

1. Bukti dari Bhaskara

Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India sekitar abad X). Bangun ABCD di bawah ini berupa bujur sangkar dengan panjang sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.

Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:

Luas PQRS +  4 x Luas ABQ     = Luas ABCD

    (b – a)²       +   4 x ½ .a.b     = c²

       b² – 2ab   +   a²  +  2ab     = c²

                              a²  +  b²   = c²      (terbukti)

2. Bukti dari J.A. Garfield

Pembuktian berikut ini berasal dari J.A. Garfield tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara, sehingga kita dapat membuktikan teorema pythagoras berikut ini.

  Luas trapesium  =  ½ x (sisi alas + sisi atas) x tinggi   =  ½ x (a + b) x (a + b)

  Di lain pihak,    Luas trapesium  =  2 x ½. ab + ½. c²

        Sehingga,    ½ x (a + b) x (a + b)  =  2 x ½. ab + ½. c²

                                   a² +  2ab  + b² =  2 ab  +  c²

                                          a²  +  b²   = c²      (terbukti)

3. Bukti dari Euclides

Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclides. Perhatikan gambar di bawah ini.

DBQE   = NLBD     ………………. kedua bangun kongruen

            = MLBC    ………………   alas sama BL dengan tinggi tetap BD

            = SRBC     ………………   alas sama BC dengan tinggi tetap BR

            = a²

ADEP    = KNDA    ………………. kedua bangun kongruen

            = KMCA    ………………   alas sama AK dengan tinggi tetap AD

            = UTCA     ………………   alas sama AC dengan tinggi tetap AU

            = b²

      c²   = DBQE + ADEP

      c²   = a²  +  b²      (terbukti)

Beberapa pembuktian yang lainnya, seperti bukti dari sekolah pythagoras, bukti dengan menggunakan garis tinggi dan sifat segitiga sebangun, bukti menggunakan transformasi, bukti menggunakan perbandingan, dan lain sebagainya dapat dibaca pada materi “Beberapa Bukti Teorema Pythagoras” yang ditulis oleh bapak Sumardyono.
(download materi)